题目内容
（2013•奉贤区二模）动圆C过定点（1，0），且与直线x=-1相切．设圆心C的轨迹Γ方程为F（x，y）=0
（1）求F（x，y）=0；
（2）曲线Γ上一定点P（1，2），方向向量
=(1，-1)的直线l（不过P点）与曲线Γ交与A、B两点，设直线PA、PB斜率分别为kPA，kPB，计算kPA+kPB；
（3）曲线Γ上的一个定点P0（x0，y0），过点P0作倾斜角互补的两条直线P0M，P0N分别与曲线Γ交于M，N两点，求证直线MN的斜率为定值．
（1）求F（x，y）=0；
（2）曲线Γ上一定点P（1，2），方向向量
| d |
（3）曲线Γ上的一个定点P0（x0，y0），过点P0作倾斜角互补的两条直线P0M，P0N分别与曲线Γ交于M，N两点，求证直线MN的斜率为定值．
分析：（1）过点C作直线x=-1的垂线，垂足为N，由题意知：|CF|=|CN|，由抛物线的定义知，点C的轨迹为抛物线．
（2）设 A（x1，y1）、B（x2，y2），由题得直线的斜率-1，过不过点P的直线方程为y=-x+b，代入抛物线方程得y2+4y-4b=0，利用根与系数的关系及斜率公式，计算kAP+kBP=
+
的值，从而得出结论．
（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），计算 kMN=
的解析式．设MP的直线方程为y-y0=k（x-x0），代入抛物线方程利用根与系数的关系求得 y1+y2的值，从而求得kMN的值，从而得出结论．
（2）设 A（x1，y1）、B（x2，y2），由题得直线的斜率-1，过不过点P的直线方程为y=-x+b，代入抛物线方程得y2+4y-4b=0，利用根与系数的关系及斜率公式，计算kAP+kBP=
| y1-2 |
| x1-1 |
| y2-2 |
| x2-1 |
（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），计算 kMN=
| y2-y1 |
| x2-x1 |
解答：解：（1）过点C作直线x=-1的垂线，垂足为N，由题意知：|CF|=|CN|，
即动点C到定点F与定直线x=-1的距离相等，由抛物线的定义知，点C的轨迹为抛物线．
其中（1，0）为焦点，x=-1为准线，所以轨迹方程为y2=4x．
（2）证明：设 A（x1，y1）、B（x2，y2），由题得直线的斜率-1．
过不过点P的直线方程为y=-x+b，由
得 y2+4y-4b=0，则y1+y2=-4．
由于P（1，2），kAP+kBP=
+
=
+
=
+
=
=0．
（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），则 kMN=
=
=
（***）．
设MP的直线方程为y-y0=k（x-x0），
由
，可得y2-
y+
-4x0=0，
则y0+y1=
，∴y1=
-y0．
同理y0+y2=-
，得y2=-
-y0．
代入（***）计算得：y1+y2=-2y0 ，∴kMN=-
（为定值）．
即动点C到定点F与定直线x=-1的距离相等，由抛物线的定义知，点C的轨迹为抛物线．
其中（1，0）为焦点，x=-1为准线，所以轨迹方程为y2=4x．
（2）证明：设 A（x1，y1）、B（x2，y2），由题得直线的斜率-1．
过不过点P的直线方程为y=-x+b，由
|
由于P（1，2），kAP+kBP=
| y1-2 |
| x1-1 |
| y2-20 |
| x2-1 |
| y1-2 | ||||
|
| y2-2 | ||||
|
=
| 4 |
| y1+2 |
| 4 |
| y2+2 |
| 4(y1+y2+4) |
| (y1+2)(y2+2) |
（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），则 kMN=
| y2-y1 |
| x2-x1 |
| y2-y1 | ||||||||
|
| 4 |
| y1+y2 |
设MP的直线方程为y-y0=k（x-x0），
由
|
| 4 |
| k |
| 4y0 |
| k |
则y0+y1=
| 4 |
| k |
| 4 |
| k |
同理y0+y2=-
| 2p |
| k |
| 4 |
| k |
代入（***）计算得：y1+y2=-2y0 ，∴kMN=-
| 2 |
| y0 |
点评：本题主要考查抛物线的定义，圆的标准方程，一元二次方程根与系数的关系，直线的斜率公式，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目