Question

20．已知sin（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，cos2α=$\frac{7}{25}$，则sin（α+$\frac{π}{3}$）等于（　　）

• A． $\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$
• B． $\frac{-3+4\sqrt{3}}{10}$
• C． $\frac{-4+3\sqrt{3}}{10}$
• D． $\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$

Answer 1

分析 由条件求得cos（α-$\frac{π}{4}$）的值，可得cos$\frac{7π}{12}$ 和sin$\frac{7π}{12}$ 的值，再根据sin（α+$\frac{π}{3}$）=sin[（α-$\frac{π}{4}$）+$\frac{7π}{12}$]，利用两角的正弦公式，计算求的结果．

解答 解：∵cos2α=sin（$\frac{π}{2}$-2α）=2sin（$\frac{π}{4}$-α）cos（$\frac{π}{4}$-α）=-2sin（α-$\frac{π}{4}$）cos（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{7}{25}$，
又 sin（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
∴cos（α-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$．
∵cos$\frac{7π}{12}$=cos（$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$）=cos$\frac{π}{4}$cos$\frac{π}{3}$-sin$\frac{π}{4}$sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$，
sin$\frac{7π}{12}$=sin（$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$）=sin$\frac{π}{4}$cos$\frac{π}{3}$+cos$\frac{π}{4}$sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$，
∴sin（α+$\frac{π}{3}$）=sin[（α-$\frac{π}{4}$）+$\frac{7π}{12}$]=sin（α-$\frac{π}{4}$）cos$\frac{7π}{12}$+cos（α-$\frac{π}{4}$）sin$\frac{7π}{12}$
=$\frac{7\sqrt{2}}{10}•\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$+（-$\frac{\sqrt{2}}{10}$•$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$）=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$，
故选：A．

点评 本题主要考查诱导公式，两角差的正弦、余弦公式，角的变换是解题的难点，属于中档题．