Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）

【解析】

(1) 求导函数,对其进行因式分解,对分成,,,几类进行讨论,从而可确定函数的单调性与单调区间；

(2) 对分成,,,,几类,利用函数的单调性和零点存在性定理,由在上有且只有一个零点,求解参数范围.

解：（1）定义域为，，

（Ⅰ）当时，；，

即在上单调递减，在上单调递增；

（Ⅱ）当时，由，得或，

（i）若，则，所以在上单调递增；

（ii）若，则，或；，

即在，上单调递增，在上单调递减，

（iii）若，则或；，

即在，上单调递增，在上单调递减.

（2）（Ⅰ）当时，在上单调递减，在上单调递增；

时，，，所以在上有两个零点；

（Ⅱ）当时，，令得，又知当时，当时，，此时在上有且只有一个零点；

（Ⅲ）当时,

（i）当时，由（1）知在上单调递增，，

此时在上有且只有一个零点；

（ii）当时，由（1）结合的单调性，只需讨论的符号，

当时，，在上有且只有一个零点；

当时，，在上无零点；

（iii）若由（1）结合的单调性，，，此时在上有且只有一个零点.

综上所述，.