Question

【题目】已知椭圆的离心率为，且，抛物线的通径与椭圆的右通径在同一直线上.

（1）求椭圆与抛物线的标准方程；

（2）过抛物线焦点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点，为椭圆的左焦点，求.

Answer 1

【答案】（1）椭圆，抛物线；（2）.

【解析】

（1）根据题意求出、的值，进而可求得的值，由此可求得椭圆的标准方程，设抛物线的标准方程为，根据抛物线的通径与椭圆的右通径在同一直线上求出的值，由此可求得抛物线的标准方程；

（2）设点、，可知直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式结合韦达定理可求得的面积.

（1）由题意可得，可得，则，

所以，椭圆的标准方程为.

设抛物线的标准方程为，

由于抛物线的通径与椭圆的右通径在同一直线上，则，，

因此，抛物线的标准方程为；

（2）设点、，可知直线的方程为，

将直线的方程与椭圆方程联立，

消去得，，

由韦达定理得，，

因此，.