Question

已知函数f（x）=e^x，g（x）=mx²+ax+b，其中m，a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）设函数h（x）=xf（x），当a=1，b=0时，若函数h（x）与g（x）具有相同的单调区间，求m的值；
（2）当m=0时，记F（x）=f（x）-g（x）
①当a=2时，若函数F（x）在[-1，2]上存在两个不同的零点，求b的取值范围；
②当b=-

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2

时，试探究是否存在正整数a，使得函数F（x）的图象恒在x轴的上方？若存在，求出a的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求解导数得出：h（x）=xe^x，（-∞，-1）上单调递减，（-1，+∞）单调递增，x=-1时h（x）去极小值．
（2）①当m=0时，记F（x）=f（x）-g（x）=e^x-ax-b，
F（x）在（-∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，F（x）的最小值为F（ln2）=2-2ln2-b，根据函数性质得出：2-2ln2-b＜0，F（-1）≥0，F（2）≥0，
②判断得出：当a=1时，F（x）=e^x-x+

′15

2

，F（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）上单调递减，最小值为F（0）=1+

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2

，＞0，F（x）＞0恒成立，

解答： 解：（1）∵函数f（x）=e^x，函数h（x）=xf（x），
∴h（x）=xe^x，
∴h′（x）=e^x+xe^x，
∵h′（x）=e^x+xe^x=0，x=-1，
h′（x）=e^x+xe^x＞0，x＞-1，
h′（x）=e^x+xe^x＜0，x＜-1，
∴h（x）=xe^x，（-∞，-1）上单调递减，（-1，+∞）单调递增，x=-1时h（x）去极小值，
∵当a=1，b=0时g（x）=mx²+ax+b=mx²+x，若函数h（x）与g（x）具有相同的单调区间
∴-12m=-1，m=12，
（2）当m=0时，记F（x）=f（x）-g（x）=e^x-ax-b，
①当a=2时，F（x）=e^x-2x-b，
∴F′（x）=e^x-2，
∵F′（x）=e^x-2=0，x=ln2，
F′（x）=e^x-2＞0，x＞ln2
F′（x）=e^x-2＜0，x＜ln2，
∴F（x）在（-∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，
F（x）的最小值为F（ln2）=2-2ln2-b，
∵函数F（x）在[-1，2]上存在两个不同的零点，
∴2-2ln2-b＜0，F（-1）≥0，F（2）≥0，
解得出：b＞2-2ln2，b≤

1

e

+2，b≤e²-4，
即2-2ln2＜b≤

1

e

+2，
②∵当b=-

15

2

时，F（x）=f（x）-g（x）=e^x-ax+

′15

2

，
∴F′（x）=e^x-a，
当a=1时，F（x）=e^x-x+

′15

2

，
F′（x）=e^x-1，
∵F′（x）=e^x-1＞0，x＞0，
F′（x）=e^x-1=0，x=0，
F′（x）=e^x-1＜0，x＜0，
∴F（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）上单调递减，
最小值为F（0）=1+

15

2

＞0，∴F（x）＞0恒成立，
当a=1时，使得函数F（x）的图象恒在x轴的上方．

点评：本题考查了函数思想的运用，导数在求解单调性，最值中的应用，知识比较多，难度较大，属于难题．