题目内容
在三棱锥V-ABC中，D、E分别为AB，AC的中点，平面VCB⊥平面ABC，AC⊥BC．（1）求证：BC∥平面VDE；
（2）求证：AC⊥VB．
考点：直线与平面垂直的性质,直线与平面平行的判定
专题：证明题,空间位置关系与距离
分析：（1）由已知及中位线的性质可得DE∥BC，又DE?平面VDE，BC?平面VDE，即可判定BC∥平面VDE．
（2）由已知及面面垂直的性质可得AC⊥平面VCB，又VB?平面VCB，即可证明AC⊥VB．
（2）由已知及面面垂直的性质可得AC⊥平面VCB，又VB?平面VCB，即可证明AC⊥VB．
解答：
证明：（1）∵△ABC中，D、E分别为AB，AC的中点，
∴DE∥BC，
又∵DE?平面VDE，BC?平面VDE，
∴BC∥平面VDE．
（2）∵平面VCB⊥平面ABC，AC⊥BC．平面VCB∩平面ABC=BC，
∴AC⊥VC，
∴AC⊥平面VCB，
∵VB?平面VCB，
∴AC⊥VB．
∴DE∥BC，
又∵DE?平面VDE，BC?平面VDE，
∴BC∥平面VDE．
（2）∵平面VCB⊥平面ABC，AC⊥BC．平面VCB∩平面ABC=BC，
∴AC⊥VC，
∴AC⊥平面VCB，
∵VB?平面VCB，
∴AC⊥VB．
点评：本题主要考查了中位线的性质，直线与平面垂直的性质定理，直线与平面平行的判定定理的应用，考查了空间想象能力，属于基本知识的考查．
练习册系列答案
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如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，BC=PB=PC，PO⊥AD，O为BC的中点．