Question

抛物线y²=12x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，则△FPM的外接圆的方程为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用抛物线的定义得出PM垂直于抛物线的准线，设M（-3，m），则P（9，m），求出△PMF的边长，写出有关点的坐标，得到外心Q的坐标，△FPM的外接圆的半径，从而求出其方程．

解答： 解：据题意知，△PMF为等边三角形，PF=PM，
∴PM⊥抛物线的准线，F（3，0）
设M（-3，m），则P（9，m），等边三角形边长为12，如图．
在直角三角形APF中，PF=12，解得外心Q的坐标为（3，±4

3

）． 则△FPM的外接圆的半径为4

3

，
∴则△FPM的外接圆的方程为(x-3)2+(y±4

3

)2=48．
故答案为：(x-3)2+(y±4

3

)2=48．

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的综合问题．考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力