Question

1．已知曲线C的参数方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}$（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B的极坐标分别为A（2，π），B（2，$\frac{π}{3}$）．
（1）求直线AB的极坐标方程；
（2）设M为曲线C上的点，求点M到直线AB距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，可得点A，B的直角坐标，进而得到直角坐标方程，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得极坐标方程．
（2）设M（cosθ，sinθ），则点M到直线AB距离d=$|sin（θ-\frac{π}{6}）-1|$，利用三角函数的单调性值域即可得出．

解答 解：（1）由A（2，π），B（2，$\frac{π}{3}$）可得直角坐标：A（-2，0），B$（1，\sqrt{3}）$．
∴直线AB的直角坐标方程为：y-0=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2），即x-$\sqrt{3}$y+2=0，
把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得极坐标方程：ρcosθ-$\sqrt{3}ρ$sinθ+2=0，化为：$ρsin（θ-\frac{π}{6}）$=1．
（2）设M（cosθ，sinθ），
则点M到直线AB距离d=$\frac{|cosθ-\sqrt{3}sinθ+2|}{2}$=$|sin（θ-\frac{π}{6}）-1|$≤2，
当且仅当$sin（θ-\frac{π}{6}）$=-1时取等号，
∴点M到直线AB距离的最大值为2．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、圆的方程与直线方程的应用、点到直线的距离公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．