Question

9．如图，已知圆上的四点A、B、C、D，CD∥AB，过点D的圆的切线DE与BA的延长线交于E点．
（1）求证：∠CDA=∠EDB
（2）若BC=CD=5，DE=7，求线段BE的长．

Answer 1

分析 （1）利用CD∥AB，过点D的圆的切线DE与BA的延长线交于E点，得出角相等，即可证明：∠CDA=∠EDB；
（2）证明△BDC≌△EDA，可得BC=EA，由切割线定理可得DE²=EA•EB，即可求线段BE的长．

解答 （1）证明：∵CD∥AB，
∴∠BDC=∠ABD，
∵DE是圆的切线，
∴∠ADE=∠ABD，
∴∠ADE=∠BDC，
∴∠CDA=∠EDB；
（2）解：在△BCD，△ADE中，
∵BC=CD=AD，∠BDC=∠EDA，∠BCD=∠EAD，
∴△BDC≌△EDA，
∴BC=EA，
由切割线定理可得DE²=EA•EB，
∴49=5BE，
∴BE=$\frac{49}{5}$．

点评 本题考查圆的切线的性质，考查三角形全等的判定与性质，考查切割线定理的运用，属于中档题．