Question

如图,在棱长为a的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,M、O、O₁分别是A₁B、AC、A₁C₁的中点,且OH⊥O₁B,垂足为H.

(1)求证:MO∥平面BB₁C₁C;

(2)分别求MO与OH的长;

(3)MO与OH是否为异面直线A₁B与AC的公垂线?为什么?求这两条异面直线间的距离.

Answer 1

(1)证明:连结B₁C,

    ∵MO是△AB₁C的中位线,

    ∴MO∥B₁C.

    ∵B₁C平面BB₁C₁C,∴MO∥平面BB₁C₁C.

(2)解:MO=B₁C=a,

    ∵OH是Rt△BOO₁斜边上的高,

    BO=a,

    ∴OH=a.

(3)解:MO不是A₁B与AC的公垂线,MO∥B₁C,△AB₁C为正三角形,

    ∴MO与AC成60°角.

    ∵AC⊥BD,AC⊥OO₁,

    ∴AC⊥面BOO₁.

    ∵OH面BOO₁,

    ∴OH⊥AC,OH⊥A₁C₁.

    ∵OH⊥O₁B,A₁C₁∩O₁B=O₁,

    ∴OH⊥面BA₁C₁,OH⊥A₁B.

    ∴OH是异面直线A₁B与AC的公垂线,其长度即为这两条异面直线的距离.