题目内容
如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1A＝
AC，D、E、F分别为线段AC、A1A、C1B的中点．
(1)证明：EF∥平面ABC；
(2)证明：C1E⊥平面BDE.
（1）见解析（2）见解析
【解析】证明：(1)取BC的中点G，连结AG、FG.
因为F为C1B的中点，所以FG∥=
C1C.
在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A∥=C1C，且E为A1A的中点，所以FG∥=EA.
所以四边形AEFG是平行四边形.所以EF∥AG.
因为EF
平面ABC，AG
平面ABC，所以EF∥平面ABC.
(2)因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，BD平面ABC，所以A1A⊥BD.
因为D为AC的中点，BA＝BC，所以BD⊥AC.
因为A1A∩AC＝A，A1A平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，所以BD⊥平面A1ACC1.
因为C1E平面A1ACC1，所以BD⊥C1E.
根据题意，可得EB＝C1E＝
AB，C1B＝
AB，
所以EB2＋C1E2＝C1B2.从而∠C1EB＝90°，即C1E⊥EB.
因为BD∩EB＝B，BD平面BDE,EB平面BDE，所以C1E⊥平面BDE.
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