Question

设F₁，F₂是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，过F₁的直线l与C交于A，B两点．若AB⊥AF₂，|AB|：|AF₂|=3：4，则椭圆的离心率为    ．

Answer 1

【答案】分析：由AB⊥AF₂，|AB|：|AF₂|=3：4，利用椭圆的定义可求得|AF₁|=2，从而可得a的值，再由勾股定理可求得2c的值．
解答：解：∵F₁，F₂是椭圆C+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F₁的直线l与C交于A，B两点，AB⊥AF₂，|AB|：|AF₂|=3：4，如图：
∴不妨令|AB|=3，|AF₂|=4，再令|AF₁|=x，由椭圆的定义得：|AF₁|+|AF₂|=2a，①|BF₁|+|BF₂|=2a②
①+②得：x+4+3-x+5=4a，
∴a=3，x=2．
在Rt△F₁F₂A中，=+，
∴4c²=4+16=20，
∴c=．
∴椭圆的离心率为e=．
故答案为：．
点评：本题考查椭圆的简单性质，突出考查椭圆的定义的应用，求得a与c的值是关键，考查转化与运算的能力，属于中档题．