Question

设F₁，F₂是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点，若在C上存在一点P，使PF₁⊥PF₂，且∠PF₁F₂=30°，则C的离心率为

 

．

Answer 1

分析：根据已知条件，利用椭圆的性质推导出|PF₁|=2a-c，|PF₂|=c，|F₁F₂|=2c，∠F₁PF₂=90°，由此利用勾股定理能求出椭圆的离心率．

解答：解：∵F₁，F₂是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点，
在C上存在一点P，使PF₁⊥PF₂，且∠PF₁F₂=30°，
∴|PF₁|=2a-c，|PF₂|=c，|F₁F₂|=2c，∠F₁PF₂=90°，
∴（2a-c）²+c²=4c²，
整理，得2a²-2ac=c²，
∴e²+2e-2=0，
解得e=

3

-1，或e=-1-

3

（舍）
故答案为：

3

-1．

点评：本题考查椭圆的离心率的求法，解题时要认真审题，注意勾股定理的合理运用．