Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-ax²+（a²-1）x+b，其图象在点（1，f（x））处的切线方程为x+y-3=0．
（1）求a，b的值与函数f（x）的单调区间；
（2）若对x∈[-2，4]，不等式f（x）＜c²-c恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知可得f′（x）=x²-2ax+（a²-1），f（1）=2=

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3

-a+a2-1+b，利用导数的几何意义可得f′（1）=1-2a+a²-1=-1，联立解得即可．
（2）利用导数可得出函数的单调性极值与最值，由x∈[-2，4]，不等式f（x）＜c²-c恒成立?[f（x）]_max＜c²-c，x∈[-2，4]．解出即可．

解答： 解：（1）f（x）=

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3

x³-ax²+（a²-1）x+b，
∴f′（x）=x²-2ax+（a²-1），
∵函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0．
∴f（1）=2=

1

3

-a+a2-1+b，f′（1）=1-2a+a²-1=-1，
解得a=1，b=

8

3

．
∴f′（x）=x²-2x=x（x-2），
令f′（x）＞0，解得x＞2或x＜0；令f′（x）＜0，解得0＜x＜2．
∴函数f（x）的单调递增为（-∞，0），（2，+∞）；单调递减区间为（0，2）．
（2）由（1）可得：f（x）=

1

3

x3-x2+

8

3

，f′（x）=x²-2x=x（x-2）．

x	[-2，0）	0	（0，2）	2	（2，4]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表格可知：当x=0时，函数f（x）取得极大值，f（0）=

8

3

，又f（4）=8．
∴函数f（x）在x∈[-2，4]上的最大值为8．
由x∈[-2，4]，不等式f（x）＜c²-c恒成立?[f（x）]_max＜c²-c，x∈[-2，4]．
∴c²-c＞8，
解得c＞

1+ 33

2

或c＜

1- 33

2

．
∴c的取值范围是(-∞，

1- 33

2

)∪(

1+ 33

2

，+∞)．

点评：本题考查了利用导数可得出函数的单调性极值与最值、切线方程，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．