Question

10．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≤3}\\{x-y+5≥0}\\{x+y≥0}\end{array}\right.$，若$\overrightarrow{a}$=（y，1），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{x+1}$，0），则z=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的取值范围为（　　）

• A． [-$\frac{5}{3}$，-$\frac{3}{4}$]
• B． [-$\frac{3}{4}$，+∞）∪（-∞，$\frac{5}{3}$]
• C． （-∞，-$\frac{5}{3}$]∪[-$\frac{3}{4}$，+∞）
• D． [-$\frac{3}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 先做出不等式组表示的平面区域，然后分析目标函数中z的几何意义，结合图象即可求解

解答 解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示
由$\overrightarrow{a}$=（y，1），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{x+1}$，0），则z=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{y}{x+1}$，则z表示可行域内的点与（-1，0）连线的斜率，
由图形可知，可行域内的A、B为最值点，
由 $\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{x-y+5=0}\end{array}\right.$可得A（$-\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$），此时z=$-\frac{5}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{x=3}\end{array}\right.$可得B（3，-3），此时z=$-\frac{3}{4}$，
故z=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的取值范围为：（-∞，-$\frac{5}{3}$]∪[-$\frac{3}{4}$，+∞）．
故选：C．

点评 本题主要考查了线性规划在求解目标函数中的最值中的应用，解题的关键是明确目标函数的几何意义．