Question

20．函数f（x）的定义域为实数集R，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^x}-1，-1≤x＜0\\{log_2}（x+1），0≤x＜3\end{array}$对于任意的x∈R都有f（x+2）=f（x-2）．若在区间[-5，3]上函数g（x）=f（x）-mx+m恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是$[{-\frac{1}{2}，-\frac{1}{6}}）$．

Answer 1

分析 求出f（x）的周期，问题转化为f（x）和y=m（x-1）在[-5，3]上有3个不同的交点，画出f（x）的图象，结合图象求出m的范围即可．

解答 解：∵f（x+2）=f（x-2），∴f（x）=f（x+4），
f（x）是以4为周期的函数，
若在区间[-5，3]上函数g（x）=f（x）-mx+m恰有三个不同的零点，
则f（x）和y=m（x-1）在[-5，3]上有3个不同的交点，
画出函数函数f（x）在[-5，3]上的图象，如图示：
，
由K_AC=-$\frac{1}{6}$，K_BC=-$\frac{1}{2}$，结合图象得：
m∈$[{-\frac{1}{2}，-\frac{1}{6}}）$，
故答案为：$[{-\frac{1}{2}，-\frac{1}{6}}）$．

点评 本题考查了函数的零点问题，考查数形结合思想以及转化思想，是一道中档题．