Question

【题目】已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为，实轴长为2

（1）求双曲线的标准方程与渐近线方程。

（2）若点 在该双曲线上运动，且， ，求以 ， 为相邻两边的平行四边形 的顶点 的轨迹．

Answer 1

【答案】（1）双曲线的方程为 ，渐近线方程为 （2）

【解析】试题分析：（1）根据焦距为 可得 ，由实轴长为 可得 ，从而可得 ，于是可得双曲线的标准方程与渐近线方程；（2）设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则线段 的中点 的坐标为 ，根据平行四边形的性质可得 所以 ，代入双曲线方程得结果.

试题解析：（1）由题意可知，，所以，所以双曲线的方程为

，渐近线方程为；

（2）设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，

则线段 的中点 的坐标为

由平行四边形的性质，点 也是线段 的中点，

所以有

因此 可用 ， 表示，得 ①

又由于 在曲线 上，因此， ②

①代入②，得 ．

因为平行四边形不可能有两个以上的顶点在一条直线上，

所以动点 的轨迹是除去两点 ， 的曲线 ．