Question

14．是否存在实数a，使得函数=-$\frac{1}{2}$cos2x+acosx+$\frac{5}{8}$a-1在闭区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析 化简函数f（x），令cosx=t，t∈[0，1]，求出f（t）在t∈[0，1]的最大值函数g（a），再令g（a）=1，求对应a的值是否存在即可．

解答 解：∵函数f（x）=-$\frac{1}{2}$cos2x+acosx+$\frac{5}{8}$a-1=-cos²x+acosx+$\frac{5}{8}$a-$\frac{1}{2}$，
令cosx=t，t∈[0，1]，∴f（t）=-t²+at+$\frac{5}{8}$a-$\frac{1}{2}$，对称轴为t=$\frac{1}{2}$a，
当a≤0时，函数f（t）在[0，1]上是减函数，
∴f（x）的最大值是g（a）=f（0）=$\frac{5}{8}$a-$\frac{1}{2}$；
当0＜a＜2时，f（x）在x∈[0，1]的最大值是g（a）=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{1}{4}$a²+$\frac{5}{8}$a-$\frac{1}{2}$；
当a≥2时，函数f（t）在[0，1]上是增函数，
∴f（x）的最大值是g（a）=f（1）=$\frac{13}{8}$a-$\frac{3}{2}$；
综上，f（x）的最大值g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{8}a-\frac{1}{2}，a≤0}\\{{\frac{1}{4}a}^{2}+\frac{5}{8}a-\frac{1}{2}，0＜a＜2}\\{\frac{13}{8}a-\frac{3}{2}，a≥2}\end{array}\right.$；
令$\frac{5}{8}$a-$\frac{1}{2}$=1，解得a=2.4＞0，不满足条件；
令$\frac{1}{4}$a²+$\frac{5}{8}$a-$\frac{1}{2}$=1，解得a=-4（不满足条件）或a=$\frac{3}{2}$；
令$\frac{13}{8}$a-$\frac{3}{2}$=1，解得a=$\frac{20}{13}$＜2，不满足条件；
综上，存在a=$\frac{3}{2}$时，函数f（x）在闭区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值是1．

点评 本题考查了二倍角公式以及二次函数的性质与应用问题，也考查了分类讨论的数学思想，其中求出最大值函数 g（a）是解题的关键，是较难的题目．