题目内容
8．
为方便市民休闲观光，市政府计划在半径为200米，圆心角为120°的扇形广场内（如图所示），沿△ABC边界修建观光道路，其中A、B分别在线段CP、CQ上，且A、B两点间距离为定长$60\sqrt{3}$米．（1）当∠BAC=45°时，求观光道BC段的长度；
（2）为提高观光效果，应尽量增加观光道路总长度，试确定图中A、B两点的位置，使观光道路总长度达到最长？并求出总长度的最大值．
分析 （1）由已知及正弦定理即可得解BC的值．
（2）设CA=x，CB=y，x，y∈（0，200]，利用余弦定理可求${（60\sqrt{3}）^2}={x^2}+{y^2}+xy$，结合基本不等式可求x+y≤120，从而可求观光道路总长度最长值．
解答 解：（1）在△ABC中，由已知及正弦定理得$\frac{AB}{sin∠ACB}=\frac{BC}{sin∠BAC}$，
即$\frac{{60\sqrt{3}}}{{sin{{120}°}}}=\frac{BC}{{sin{{45}°}}}$，
∴$BC=60\sqrt{2}m$．
（2）设CA=x，CB=y，x，y∈（0，200]，
在△ABC中，AB2=AC2+CB2-2AC•CB•cos120°，即${（60\sqrt{3}）^2}={x^2}+{y^2}+xy$，
∴${（60\sqrt{3}）^2}={（x+y）^2}-xy≥{（x+y）^2}-\frac{{{{（x+y）}^2}}}{4}=\frac{3}{4}{（x+y）^2}$，
故x+y≤120，当且仅当x=y=60时，x+y取得最大值，
∴当A、B两点各距C点60米处时，观光道路总长度达到最长，最长为$（120+60\sqrt{3}）m$．
点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
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