Question

8．我校服装厂主要生产学生校服和工厂工作服，已知服装厂的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，服装厂年内共生产此种产品x千套，并且全部销售完，每千套的销售收入为f（x）万元，且f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{10.8-\frac{1}{30}{x}^{2}（0≤x≤10）}\\{\frac{108}{x}-\frac{1000}{3{x}^{2}}（x＞10）}\end{array}\right.$．
（1）写出年利润 （万元）关于年产品 （千套）的函数解析式；
（2）年产量为多少千套时，服装厂所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）

Answer 1

分析 （1）当0＜x≤10时，$P=xf（x）-（10+2.7x）=8.1x-\frac{x^3}{30}-10$，当x＞10时，$P=xf（x）-（10+2.7x）=98-\frac{1000}{3x}-2.7x$，由此能求出年利润P（万元）关于该特许商品x（千件）的函数解析式．
（2）当0＜x≤10时，由P′=0，得x=9，推导出当x=9时，P取最大值，且P_max=38.6；当x＞10时，P≤38．由此得到当年产量为9千件时，该公司在该特许商品生产中获利最大．

解答 解：（1）当0＜x≤10时，$P=xf（x）-（10+2.7x）=8.1x-\frac{x^3}{30}-10$
当x＞10时，$P=xf（x）-（10+2.7x）=98-\frac{1000}{3x}-2.7x$，
∴P=$\left\{\begin{array}{l}{8.1x-\frac{{x}^{3}}{30}-10，0＜x≤10}\\{98-\frac{1000}{3x}-2.7x，x＞10}\end{array}\right.$；（6分）
（2）（Ⅱ）①当0＜x≤10时，
由P′=8.1-$\frac{{x}^{2}}{10}$=0，得x=9，且当x∈（0，9）时，P′＞0，
当x∈（9，10）时，P′＜0．
∴当x=9时，P取最大值，且P_max=8.1×9-$\frac{1}{30}×93$-10=38.6．…（9分）
②当x＞10时，P=98-（$\frac{1000}{3x}+2.7x$）＜38，
当且仅当$\frac{1000}{3x}=2.7x$，即x=$\frac{100}{9}$时，P_max=38．
综合①、②知x=9时，P取最大值．…（11分）
所以当年产量为9千件时，该公司在该特许商品生产中获利最大．…（12分）

点评 本题考查函数的解析式的求法，考查年利润的最大值的求法．解时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．