Question

13．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
（1）求不等式f（x）≤6的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）-a＞2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用绝对值三角不等式，求得f（x）的最小值，可得实数a的取值范围．

解答 解：（1）原不等式等价于：$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{-2x-1+（3-2x）≤6}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}}\\{2x+1+（3-2x）≤6}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{3}{2}}\\{2x+1+（2x-3）≤6}\end{array}\right.$③，
解①求得-1≤x＜-$\frac{1}{2}$，解②求得-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$，解③求得$\frac{3}{2}$＜x＜2，故不等式的解集为{x|-1≤x≤2}．
（2）不等式f（x）-a＞2等价于a+2＜|2x+1|+|2x-3|．
因为函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|≥|2x+1-（2x-3）|=4，所以f（x）的最小值为4，
于是，a+2＜4，求得a＜2．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．