Question

3．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$tan（2x+$\frac{π}{4}$），
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数g（x）=f（x-$\frac{π}{4}$）的单调区间及对称中心．

Answer 1

分析 （1）根据正切函数的定义与性质，即可求出函数f（x）的定义域；
（2）函数正切函数的解析式，求出它的单调区间与对称中心即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{1}{2}$tan（2x+$\frac{π}{4}$），
∴2x+$\frac{π}{4}$≠$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
解得x≠$\frac{π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴函数f（x）的定义域{x|x≠$\frac{π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z}；
（2）∵函数g（x）=f（x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$tan（2x-$\frac{π}{4}$），
令-$\frac{π}{2}$+kπ＜2x-$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$＜x＜$\frac{3π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴g（x）的单调区间是（-$\frac{π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{3π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$），k∈Z，
令2x-$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z，
解得x=$\frac{π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴函数g（x）的对称中心是（$\frac{π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$，0），k∈Z．

点评 本题考查了正切函数的定义与性质，以及单调区间和对称中心的应用问题，是基础题目．