题目内容
【题目】已知
的两个顶点坐标是
，
，的周长为
，
是坐标原点，点
满足
.
（1）求点的轨迹
的方程；
（2）若互相平行的两条直线
，
分别过定点
和
，且直线与曲线交于
两点，直线与曲线交于
两点，若四边形
的面积为
，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
或
【解析】
（1）由
，所以，可得点
的轨迹是以
为焦点的椭圆（不含左右顶点）.再由
得得出点A的坐标与点M的坐标的关系，可求得点
的轨迹
的方程；
（2）分直线
的斜率不存在时和直线的斜率存在时两种情况分别求解，当直线的斜率存在时，可设直线的方程为
，直线
的方程为
与曲线E的方程联立求得边
，
，
，再由平行线间的距离可得平行四边形的面积，可得解.
（1）由已知，得，所以，点的轨迹是以为焦点的椭圆（不含左右顶点）.
因为，
，
，所以，
，
，
所以，点的轨迹方程为.
设
，
.由得，
，又
.
故，点的轨迹的方程为
，即
.
（2）由题意可知，当直线的斜率不存在时，易求得
，
，
，
.这时，四边形
的面积为
，不符合要求.
当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，
则直线的方程为
由
消去
得
，
设，，则
，
.
故，
，
又，两条平行直线，间的距离
.
由椭圆的对称性知：四边形为平行四边形，其面积
，
解得，
或
.
故，直线的方程为或.
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