Question

【题目】若存在实数k，b，使得函数和对其定义域上的任意实数x同时满足：且，则称直线：为函数和的“隔离直线”.已知，（其中e为自然对数的底数）.试问：

（1）函数和的图象是否存在公共点，若存在，求出交点坐标，若不存在，说明理由；

（2）函数和是否存在“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）存在，交点坐标为；（2）存在，

【解析】

（1）构造函数，求导得到函数的单调区间，得到函数在处取得最小值为0，得到答案.

（2）设直线，根据得到，再证明恒成立，令，求导得到单调区间，计算最值得到证明.

（1）∵，

∴，令，得，

当时，，时，，

故当时，取到最小值，最小值是0，

从而函数和的图象在处有公共点，交点坐标为.

（2）由（1）可知，函数和的图象在处有公共点，

因此存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，

设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为，

即，

由，可得在上恒成立，

则，只有，

此时直线方程为：，下面证明恒成立，

令，

，当时，，

当时，函数单调递减；时，，函数单调递增，

则当时，取到最小值是0，

所以，则当时恒成立.

∴函数和存在唯一的隔离直线.