Question

3．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知（a-3b）cosC=c（3cosB-cosA）．
（1）求$\frac{sinB}{sinA}$的值；
（2）若c=$\sqrt{7}$a，求角C的大小．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理将边化角整理化简条件式子，得出sinA和sinB的关系；
（2）用a表示b，c，使用余弦定理求出cosC．

解答 解：（1）∵（a-3b）cosC=c（3cosB-cosA），
∴sinAcosC-3sinBcosC=3cosBsinC-cosAsinC，
即sinAcosC+cosAsinC=3cosBsinC+3sinBcosC，
∴sin（A+C）=3sin（B+C），即sinB=3sinA，
∴$\frac{sinB}{sinA}$=3．
（2）∵$\frac{sinB}{sinA}$=3，∴b=3a．
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+9{a}^{2}-7{a}^{2}}{6{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$．
∴C=$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，属于基础题．