Question

2．已知0＜α＜$\frac{π}{4}$，β为f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）sin（$\frac{π}{4}$-x）+2的最小正周期，$\overrightarrow{a}$=（tan（α+$\frac{1}{4}$β），-1），$\overrightarrow{b}$=（cosα，2），$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=m，求$\frac{2co{s}^{2}α+sin2（α+β）}{cosα-sinα}$的值（用m表示）

Answer 1

分析 化简f（x），求出f（x）的最小正周期β，再计算$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的值，从而求出$\frac{2co{s}^{2}α+sin2（α+β）}{cosα-sinα}$的值．

解答 解：∵f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）sin（$\frac{π}{4}$-x）+2
=sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）+2
=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）+2
=$\frac{1}{2}$cos2x+2，
∴f（x）的最小正周期β=π；
又$\overrightarrow{a}$=（tan（α+$\frac{1}{4}$β），-1），$\overrightarrow{b}$=（cosα，2），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=tan（α+$\frac{π}{4}$）•cosα-2=m，
∴tan（α+$\frac{π}{4}$）cosα=m+2，
∴$\frac{2co{s}^{2}α+sin2（α+β）}{cosα-sinα}$=$\frac{{2cos}^{2}α+sin（2α+2π）}{cosα-sinα}$
=$\frac{{2cos}^{2}α+sin2α}{cosα-sinα}$
=$\frac{2cosα（cosα+sinα）}{cosα-sinα}$
=2cosα•$\frac{1+tanα}{1-tanα}$
=2cosα•tan（$\frac{π}{4}$+α）
=2（m+2）
=2m+4．

点评 本题考查了平面向量的数量积与三角函数的化简、求值问题，是综合性题目．