题目内容

5．已知数列{log2xn}是公差为1的等差数列，数列{xn}的前100项的和等于100，则数列{xn}的前200项的和等于100×（1+2100）．

分析 利用等差数列与等比数列的通项公式、求和公式即可得出．

解答 解：∵数列{log2xn}是公差为1的等差数列，∴log2xn=log2x1+（n-1），可得：xn=x1•2n-1．
∴数列{xn}是等比数列，首项为x1，公比为2．
∵数列{xn}的前100项的和等于100，∴$\frac{{x}_{1}（{2}^{100}-1）}{2-1}$=100，解得x1=$\frac{100}{{2}^{100}-1}$．
则数列{xn}的前200项的和=$\frac{{x}_{1}（{2}^{200}-1）}{2-1}$=$\frac{100}{{2}^{100}-1}$×$\frac{{2}^{200}-1}{2-1}$=100×（1+2100）．
故答案为：100×（1+2100）．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、求和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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已知．

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）当时，记，已知有三个极值点，求的取值范围．
16．已知数列{an}满足：${a_1}∈{N^+}，{a_1}≤36$，且${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n}，{a_n}≤18\\ 2{a_n}-36，{a_n}＞18\end{array}\right.（{n=1，2，…}）$，记集合$M=\left\{{{a_n}|n∈{N^+}}\right\}$
（1）若a1=6，写出集合M的所有元素；
（2）求集合M的元素个数的最大值．
13．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x3+（2a+1）x2+3a（a+2）x+1，a∈R．
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（2）当a=-1时，求函数y=f（x）在[0，4]上的最大值和最小值．
20．为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门召集了100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均速度情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过80km/h的有40人，不超过80km/h的有15人，在45名女性驾驶员中，平均车速超过80km/h的有20人，不超过80km/h的有25人．
（1）（Ⅰ）完成下面的列联表：
平均车速超过80km/h平均车速不超过80km/h合计
男性驾驶员
女性驾驶员
合计
（Ⅱ）判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过80km/h与性别有关．
参考公式与临界值表：K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d
P（K2≥k）0.15000.10000.0500.0250.0100.0050.001
k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
（2）在被调查的驾驶员中，按分层抽样从平均车速超过80km/h的人中抽取6人，再从这6人中常用简单随机抽样的方法随机抽取2人，求这2人恰好为1名男性1名女性的概率；
（3）以上述样本数据估计总体，在高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车均为男性驾驶员且车速超过80km/h的车辆数为X，求X的分布列和数学期望EX．
10．（1）化简：$tanα+\sqrt{\frac{1}{{{{cos}^2}α}}-1}+2{sin^2}α+2{cos^2}α$，其中α是第四象限角
（2）化简：$\frac{sin（α+π）tan（π-α）cos（2π-α）}{{sin（π-α）sin（\frac{π}{2}+α）}}+cos\frac{5π}{2}$．
17．双曲线$\frac{x^2}{2}$-y2=-1的焦点到其渐近线的距离等于（　　）
A．$\frac{1}{2}$B．$\sqrt{2}$C．1D．$\frac{\sqrt{2}}{2}$
13．计算cos$\frac{11π}{3}$+tan（-$\frac{3}{4}$π）=-$\frac{1}{2}$．
10．log39-4${\;}^{-\frac{1}{2}}$=$\frac{3}{2}$．

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