Question

【题目】如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，平面平面.

（1）求证：；

（2）在线段上（含端点）是否存在点P，使直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在；.

【解析】

（1）根据题意可知，然后根据面面垂直的性质定理可知平面，进一步可得结果.

（2）建立空间直角坐标系，假设计算平面的一个法向量，以及，然后根据，计算可得.

（1）证明：直三棱柱中，，

平面平面，平面平面，

所以平面，

因为平面，所以.

（2）假设线段上（含端点）存在点P，

使直线与平面所成的角的正弦值为，

以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，

建立空间直角坐标系，如图

则，

设，

则，，

所以，

设平面的法向量，

则取，得，

因为直线与平面所成的角正弦值为，

设直线与平面所成的角为，

所以，

解得，或（舍）

所以在线段上（含端点）存在点P，

使直线与平面所成的角正弦值为，

解得.