Question

【题目】已知平面上一动点A的坐标为.

（1）求点A的轨迹E的方程；

（2）点B在轨迹E上，且纵坐标为.

（i）证明直线AB过定点，并求出定点坐标；

（ii）分别以A，B为圆心作与直线相切的圆，两圆公共弦的中点为H，在平面内是否存在定点P，使得为定值？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（i）证明见解析；定点（ii）存在；点

【解析】

（1）设动点A的坐标为，根据A的坐标为，坐标对应相等，消去参数t即可.

（2）（i）根据点B在轨迹E上，且纵坐标为，得到点B的坐标为，再分和两种情况与点A用点斜式方程求解.（ii）根据圆A，B与直线相切，分别表示圆A，圆B的方程，然后两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，将，坐标代入并整理，根据H是该直线与（i）中直线AB的交点，两个方程相乘即可.

（1）设动点A的坐标为，

因为A的坐标为，

所以，

消去参数t得：；

（2）（i）因为点B在轨迹E上，且纵坐标为，

所以点B的坐标为，

当时，直线AB的方程为；

当时，直线AB的斜率为，

所以直线AB的方程为，

整理得，所以直线AB过定点；

（ii）因为A的坐标为，且圆A与直线相切，

所以圆A的方程为，

同理圆B的方程为，

两圆方程相减得，

将，带入并整理得①，

由（i）可知直线AB的方程为②，

因为H是两条直线的交点，

所以两个方程相乘得，

整理得，即点H的轨迹是以为圆心，

为半径的圆，所以存在点，满足.