Question

（Ⅰ）设函数，证明：当时，；

（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为。证明：。

注：可用（Ⅰ）的结论。

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）。         1分

当时，，所以为增函数，又，

因此当时，。         3分

（Ⅱ）。         5分

又，，…，所以。         6分

由（Ⅰ）知，当时，，

因此。         7分

在此式中令，则即。         8分

所以。         9分

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。利用导数的符号判定单调性得到最值证明不等式恒成立。同时利用函数的最值结论来分析证明不等式的综合运用。