Question

【题目】已知函数，.

（1）若，求函数的单调递减区间；

（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；

（3）若，正实数，满足，证明：.

Answer 1

【答案】（1）； （2）2； （3）证明见解析.

【解析】

（1）利用，确定的值，求出到函数，从而确定函数的单调性；

（2）构造函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解；

（3）由，整理得，令，由，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解.

（1）由，可得，所以，，

，

由，得，解得或，

又因为，所以，所以的单调递减区间为.

（2）令，

所以.

当时，因为，所以，所以在上是递增函数.

又因为，

所以关于的不等式不能恒成立.

当时，，

令，得.所以当时，；

当时，，

因此函数在上是增函数，在上是减函数，

故函数的最大值为，

令，因为，，

又因为在上是减函数，

所以当时，.所以整数的最小值为2.

（3）当时，，，

由，得，

从而，

令，则由，得，

可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以，所以，

因此成立，

又因为，所以.