Question

【题目】已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比不为1的等比数列，且满足，，

（1）求数列，的通项公式；

（2）令，记数列的前n项和为，求证：对任意的，都有；

（3）若数列满足，，记，是否存在整数，使得对任意的 都有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）存在整数，使得对任意的都有成立，理由见解析.

【解析】

（1）利用等差等比数列的基本量表示已知条件，解方程组得到基本量，利用等差等比数列的通项公式得到答案；

（2）根据（1）的结论得到数列的通项公式，利用指数的运算裂项，相消求和后得到的表达式，判定单调性，然后利用不等式的基本性质即可证明；
（3）假设存在满足要求的整数，取得到的范围，进而求得的值为，然后证明当时，对任意的，都有成立．为此先要根据，利用等比数列的求和公式，求得，结合，求得，然后利用作差法证明即可.

（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为，

则，所以，

因为，所以．

所以，解得

所以，．

（2）因为

所以

又因为对任意的，都有单调递增，

即，

所以对任意的，都有成立；

（3）假设存在满足要求的整数，

令，则，解得；

令，则，解得；

令，则，解得；

所以，

又已知，故若存在，则．

下证：当时，对任意的，都有成立．

；

；

即

又；

所以

则

而对任意的，单调递增，

所以

即对任意的都有成立，得证.

所以，存在整数，使得对任意的都有成立．