Question

【题目】已知函数，.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）记在上最大值为，若，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）求导可得：，分类讨论：

①当时，函数在上单调递增；

②当时，函数的递增区间有，，递减区间有.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

①当时，；

②当即时，；

③当时，分类讨论有：

当时，，∴；

当时，，∴.

据此可得若，则实数的取值范围为.

试题解析：

（Ⅰ），

①当时，恒成立，此时函数在上单调递增；

②当时，令，得，

∴时，；

时，，

∴函数的递增区间有，，递减区间有.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

①当时，函数在上单调递增，此时；

②当即时，，∴在单调递减，

∴，∵，∴，即；

③当时，，

而在，递增，在上递减，

∴ .

由，得，令，则，

∴，即 ，∴，∴.

∴当时，，∴；

当时，，∴.

综合①②③得：若，则实数的取值范围为.