Question

【题目】已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若在定义域内有两个极值点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）求导后，将问题转变为研究在时的正负；当，可知恒成立，从而可知，得到函数单调递减；当时，解方程求出两根，根据在不同区间内的符号确定原函数的单调性即可；（2）由（1）可知且是方程的两个不等实根，从而可得韦达定理的形式；将整理为韦达定理的形式，代入可得，设，利用导数求得，从而可证得结论.

（1）由题意得：的定义域为，

令，

①当，即时，恒成立

即： 在上单调递减

②当，即时

令，解得：，

当时，，即；当时，，即

在，上单调递减；在上单调递增

（2）在定义域上有两个极值点

由（1）知且是方程的两个不等实根

则，

设，则

则在上为减函数

则成立