题目内容

（1）求证：函数f（x）=x+
a
x
是奇函数；
（2）已知函数g（x）=x+
1
x
在区间（0，1）上是单调减函数，在区间（1，+∞）上是单调增函数；函数g（x）=x+
4
x
在区间（0，2）上是单调减函数，在区间（2，+∞）上是单调增函数；猜想出函数g（x）=x+
b2
x
，（b＞0），x∈（0，+∞）的单调区间；
（3）指出函数h（x）=x+
8
x
，x∈（-∞，0）在什么时候取最大值，最大值是多少．
（1）函数的定义域为：{x|x≠0}，
任意x∈{x|x≠0}，则f（-x）=-x+
a
-x
=-(x+
a
x
) =-f(x)，
∴函数f（x）=x+
a
x
是奇函数；
（2）∵函数g（x）=x+
1
x
在区间（0，1）上是单调减函数，在区间（1，+∞）上是单调增函数，即：在区间（0，
1
）上是单调减函数，在区间（
1
，+∞）上是单调增函数；
函数g（x）=x+
4
x
在区间（0，2）上是单调减函数，在区间（2，+∞）上是单调增函数，即：在区间（0，
4
）上是单调减函数，在区间（
4
，+∞）上是单调增函数；
∴猜测：函数g（x）=x+
b2
x
，（b＞0），x∈（0，+∞）的单调减区间为（0，b），单调增区间为（b，+∞）．
（3）由（2）可知，函数h（x）=x+
8
x
，x∈（0，+∞）的单调减区间为（0，2
2
），单调增区间为（2
2
，+∞）．
 又由（1）可知，函数h（x）为奇函数．所以函数h（x）在（-2
2
，0）上为减函数，在（-∞，-2
2
）上为增函数．
∴函数h（x）=x+
8
x
，x∈（-∞，0）在x=-2
2
时取得最大值，最大值为：hmax（x）=-4
2
．
练习册系列答案
相关题目
定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y属于（-1，1），都有f（x）+f（y）=f（
x+y1+xy
）．
（1）求证：函数f（x）是奇函数！
（2）若当x属于（-1，0）时，有f（x）＞0．求证：f（x）在（-1，1）上是减函数．
函数f（x）=x4-2ax2，g（x）=1．
（1）求证：函数f（x）与g（x）的图象恒有公共点；
（2）当x∈（0，1]时，若函数f（x）图象上任一点处切线斜率均小于1，求实数a的取值范围；
（3）当x∈[0，1]时，关于x的不等式|f′（x）|＞g（x）的解集为空集，求所有满足条件的实数a的值．
已知函数f(x)=ax2+lnx，f1(x)=
1
6
x2+
4
3
x+
5
9
lnx，f2(x)=
1
2
x2+2ax，a∈R
（1）求证：函数f（x）在点（e，f（e））处的切线横过定点，并求出定点的坐标；
（2）若f（x）＜f2（x）在区间（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）当a=
2
3
时，求证：在区间（1，+∞）上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x）恒成立的函数g（x）有无穷多个．
已知函数f(x)=
x+
9
x
，(x＞0)
2x-1，(x≤0)

（1）求证：函数f（x）在区间（0，3]上是单调减函数，在区间[3，+∞）上是单调增函数；
（2）求函数f（x）在x∈[-2，-1]∪[3，6]上的值域．
已知函数f(x)=x+
2x
．
（1）求证：函数f（x）在区间[2，+∞）上是增函数；
（2）设集合M={y|y=f（x）-x，x∈[-1，0）∪（0，2]}，求集合M．

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