Question

已知函数f(x)=ax2+lnx，f1(x)=

1

6

x2+

4

3

x+

5

9

lnx，f2(x)=

1

2

x2+2ax，a∈R
（1）求证：函数f（x）在点（e，f（e））处的切线横过定点，并求出定点的坐标；
（2）若f（x）＜f₂（x）在区间（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）当a=

2

3

时，求证：在区间（1，+∞）上，满足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x）恒成立的函数g（x）有无穷多个．

Answer 1

分析：（1）先求出导数f′(x)=2ax+

1

x

，根据导数的几何意义得出f（x）在点（e，f（e））处的切线的斜率为k=2ae+

1

e

，从而写出切线方程得出切线恒过定点；
（2）先令p(x)=f(x)-f2(x)=(a-

1

2

)x2-2ax+lnx＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，
利用导数求出p（x）在区间（1，+∞）上是减函数，从而得出：要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足p(1)=-a-

1

2

≤0，由此解得a的范围即可．
（3）当a=

2

3

时，f1(x)=

1

6

x2+

4

3

x+

5

9

lnx，f2(x)=

1

2

x2+

4

3

x．
记y=f2(x)-f1(x)=

1

3

x2-

5

9

lnx，x∈(1，+∞)．利用导数研究它的单调性，得出y=f₂（x）-f₁（x）在（1，+∞）上为增函数，最后得到满足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x）恒成立的函数g（x）有无穷多个．

解答：解：（1）因为f′(x)=2ax+

1

x

，所以f（x）在点（e，f（e））处的切线的斜率为k=2ae+

1

e

，
所以f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=(2ae+

1

e

)(x-e)+ae2+1，
整理得y-

1

2

=(2ae+

1

e

)(x-

e

2

)，所以切线恒过定点(

e

2

，

1

2

)．
（2）令p(x)=f(x)-f2(x)=(a-

1

2

)x2-2ax+lnx＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，
因为p′(x)=(2a-1)x-2a+

1

x

=

(2a-1)x2-2ax+1

x

=

(x-1)[(2a-1)x-1]

x

（*）
令p'（x）=0，得极值点x₁=1，x2=

1

2a-1

，
①当

1

2

＜a＜1时，有x₂＞x₁=1，即

1

2

＜a＜1时，在（x₂，+∞）上有p'（x）＞0，
此时p（x）在区间（x₂，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x₂），+∞），不合题意；
②当a≥1时，有x₂＜x₁=1，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意；
③当a≤

1

2

时，有2a-1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p'（x）＜0，
从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足p(1)=-a-

1

2

≤0⇒a≥-

1

2

，
所以-

1

2

≤a≤

1

2

．
综上可知a的范围是[-

1

2

，

1

2

]．
（3）当a=

2

3

时，f1(x)=

1

6

x2+

4

3

x+

5

9

lnx，f2(x)=

1

2

x2+

4

3

x
记y=f2(x)-f1(x)=

1

3

x2-

5

9

lnx，x∈(1，+∞)．
因为y′=

2x

3

-

5

9x

=

6x2-5

9x

＞0，所以y=f₂（x）-f₁（x）在（1，+∞）上为增函数，
所以f2(x)-f1(x)＞f2(1)-f1(1)=

1

3

，设R(x)=f1(x)+

1

3

λ，(0＜λ＜1)，则f₁（x）＜R（x）＜f₂（x），
所以在区间（1，+∞）上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x）恒成立的函数g（x）有无穷多个．

点评：本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、导函数的正负与原函数的单调性之间的关系等，注意应用导数的性质：当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．