Question

已知函数f(x)=

x+ 9 x ，(x＞0) 2x-1，(x≤0)

（1）求证：函数f（x）在区间（0，3]上是单调减函数，在区间[3，+∞）上是单调增函数；
（2）求函数f（x）在x∈[-2，-1]∪[3，6]上的值域．

Answer 1

分析：（1）任设x_x＜x₂，且x₁∈（0，+∞），x₂∈（0，+∞），分当0＜x_x＜x₂≤3时和当3≤x_x＜x₂时两种情况，讨论差式f(x1)-f(x2)=

(x1-x2)

x1x2

(x1x2-9)的符号，结合函数单调性的定义，可得结论；
（2）由（1）中结论，可得x∈[3，6]时，6=f(3)≤f(x)≤f(6)=

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2

，结合x∈[-2，-1]时，f（x）=2x-1为增函数，即-5=f（-2）≤f（x）≤f（-1）=-3，综合讨论结果可得答案．

解答：证明：（1）任设x_x＜x₂，且x₁∈（0，+∞），x₂∈（0，+∞）
则f(x1)-f(x2)=x1+

9

x1

-(x2+

9

x2

)=

(x1-x2)

x1x2

(x1x2-9)
当0＜x_x＜x₂≤3时，x₁x₂-9＜0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
则f（x₁）＞f（x₂）；
故函数f（x）在区间（0，3]上是单调减函数，
当3≤x_x＜x₂时，x₁x₂-9＜0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
则f（x₁）＞f（x₂）；
故函数f（x）在区间[3，+∞）上是单调增函数．
解：（2）因为[3，6]⊆[3，+∞），
且根据（1）知，f（x）在区间[3，6]上是单调增函数，
则x∈[3，6]时，6=f(3)≤f(x)≤f(6)=

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2

当x∈[-2，-1]时，f（x）=2x-1为增函数
故-5=f（-2）≤f（x）≤f（-1）=-3
综上，函数f（x）在x∈[-2，-1]∪[3，6]上的值域为[-5，-3]∪[6，

15

2

]．

点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，函数单调性的判断与证明，单调性法求函数的值域，熟练掌握函数单调性的证明方法和步骤是解答的关键．