Question

函数f（x）=x⁴-2ax²，g（x）=1．
（1）求证：函数f（x）与g（x）的图象恒有公共点；
（2）当x∈（0，1]时，若函数f（x）图象上任一点处切线斜率均小于1，求实数a的取值范围；
（3）当x∈[0，1]时，关于x的不等式|f′（x）|＞g（x）的解集为空集，求所有满足条件的实数a的值．

Answer 1

分析：（1）两个函数的交点转化为一个函数与x轴的交点，转化为对应方程的有实数解，换元转化为二次方程有非负实数根，由送别式恒大于0与两根之积为负得二次方程一定有正根，问题得证．
（2）求导，由题意得导数恒小于1，分离参数a，设另一边为函数，求导得导数恒大于0，函数在（0，1]上递增，得最值，求出参数a的取值范围；
（3）把函数解析式代入不等式，考虑反面，转化为恒成立问题，设绝对值符号内的为F（x），求导，得函数单调性，结合函数图象，讨论函数在[0，1]上的单调性，进而求出最值，令最值的绝对值小于等于1，得实数a的值．

解答：解：（1）设h（x）=f（x）-g（x）
即证函数h（x）与x轴有交点，
即证方程x⁴-2ax²-1=0有实根，设t=x²
即证方程t²-2at-1=0有非负实数根，
而△=4a²+4＞0，t₁t₂=-1＜0
∴方程t⁴-2at-1=0恒有正根
∴f（x）与g（x）图象恒有公共点（4分）
（2）f′（x）=4x³-4ax
∵当0＜x≤1时4xa＞4x³-1恒成立
即a＞x2-

1

4x

，设y=x²-

1

4x

，
则y′=2x+

1

4x2

＞0，
∴y=x²-

1

4x

在（0，1]上单调递增，
∴a＞1-

1

4

=

3

4

∴a的取值范围为(

3

4

，+∞)（8分）
（3）由题设知当x∈[0，1]时，|4x³-4ax|≤1恒成立
记F（x）=4x³-4ax
若a≤0则F（1）=4（1-a）≥4不满足条件
故a＞0而F′(x)=12x2-4a=12(x-

a 3

)(x+

a 3

)
①当

a 3

＜1时，即0＜a＜3时，F（x）在[0，

a 3

]上递减，在[

a 3 ，1

]上递增，
于是

F(x)min=F( a 3 ) F(x)max=max{F(0)，F(1)}=max{0，4-4a}

∴

F( a 3 )≥-1 4-4a≤1

，∴

a≤ 3 4 a≥ 3 4

，∴a=

3

4

②当

a 3

≥1时，即a≥3时，F（x）在[0，1]上递减，
于是

F(x)min=F(1)=4-4a≥-1?a≤ 5 4 F(x)max=F(0)=0≤1

矛盾
综上所述：a=

3

4

（14分）

点评：本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，一是当问题从正面不容易解决时，注意从反面进行突破，这是一难点，二是把不等式问题转化为求函数的最值，三是在求最值过程中，需求函数的单调性，在求单调性的过程中，要分类讨论，这又是一难点，四把问题最后再转化为求不等式．