题目内容
已知数列{an}满足：a1=1，an+1-ansin2θ=sin2θ•cos2nθ．
（Ⅰ）当θ=
时，求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若数列{bn}满足bn=sin
，Sn为数列{bn}的前n项和，求证：对任意n∈N*，Sn＜3+
．
（Ⅰ）当θ=
| π |
| 4 |
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若数列{bn}满足bn=sin
| πan |
| 2 |
| 5π |
| 8 |
考点：数列的求和,数列递推式
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）当θ=
时，an+1-
an=
，2nan+1-2n-1•an=1，利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）由（1）可得：an=
，可得bn=sin
，b1=b2=1，b3=sin
＜1，可得当n=1，2，3时，不等式成立；当n≥4时，由于bn=sin
＜
，利用“错位相减法”、等比数列的前n项函数公式即可得出．
| π |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2n |
（2）由（1）可得：an=
| n |
| 2n-1 |
| nπ |
| 2n |
| 3π |
| 8 |
| nπ |
| 2n |
| nπ |
| 2n |
解答：
（1）解：当θ=
时，an+1-
an=
，2nan+1-2n-1•an=1，
∴{2n-1an}是以1为首项、1为公差的等差数列，2n-1an=n，
从而an=
．
（2）证明：bn=sin
，b1=b2=1，b3=sin
＜1，
∴当n=1，2，3时，Sn＜3+
成立；
当n≥4时，∵bn=sin
＜
，Sn＜3+(
+
+
+…+
)π，
令T=
+
+
+…+
，
T=
+
+
+…+
，
两式相减得
T=
+
+
+…+
-
＜
+
=
，
T＜
，所以Sn＜3+
．
综上所述，对任意n∈N*，Sn＜3+
．
| π |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2n |
∴{2n-1an}是以1为首项、1为公差的等差数列，2n-1an=n，
从而an=
| n |
| 2n-1 |
（2）证明：bn=sin
| nπ |
| 2n |
| 3π |
| 8 |
∴当n=1，2，3时，Sn＜3+
| 5π |
| 8 |
当n≥4时，∵bn=sin
| nπ |
| 2n |
| nπ |
| 2n |
| 4 |
| 24 |
| 5 |
| 25 |
| 6 |
| 26 |
| n |
| 2n |
令T=
| 4 |
| 24 |
| 5 |
| 25 |
| 6 |
| 26 |
| n |
| 2n |
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 25 |
| 5 |
| 26 |
| 6 |
| 27 |
| n |
| 2n+1 |
两式相减得
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 24 |
| 1 |
| 25 |
| 1 |
| 26 |
| 1 |
| 2n |
| n |
| 2n+1 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 24 |
| 5 |
| 16 |
T＜
| 5 |
| 8 |
| 5π |
| 8 |
综上所述，对任意n∈N*，Sn＜3+
| 5π |
| 8 |
点评：本题考查了“错位相减法”、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项函数公式、三角函数的性质、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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