Question

14．设函数 f （x）=|x-1|+|x-a|（a∈R）．
（1）若a=-3，求函数 f （x）的最小值；
（2）如果?x∈R，f （x）≤2a+2|x-1|，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值的意义求出函数的最小值即可；（2）由|x-a|-|x-1|≤2a，转化为|1-a|≤2a，求出a的范围即可．

解答 解：（1）a=-3时，f（x）=|x-1|+|x+3|，
∵f（x）=|x-1|+|x+3|=|1-x|+|x+3|≥|（1-x）+（x+3）|=4，
当且仅当（1-x）（x+3）≥0即-3≤x≤1时，“=”成立，
∴函数f（x）的最小值是4；
（2）?x∈R，f（x）≤2a+2|x-1|，
可化为|x-a|-|x-1|≤2a，
又|x-a|-|x-1|≤|（x-a）-（x-1）|=|1-a|，
当且仅当x=1时“=”成立，
从而|1-a|≤2a，即-2a≤1-a≤2a，解得：a≥$\frac{1}{3}$，
故a的范围是[$\frac{1}{3}$，+∞）．

点评 本题考查了绝对值的意义，考查求函数最小值问题，是一道中档题．