Question

【题目】设x，y，z∈R，z（x+2y）＝m．

（1）若m＝1，求的最小值；

（2）若x2+2y2+3z2＝m2﹣8，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．

【解析】

（1）由均值不等式及其变形，可得到两数的平方和不小于两数和平方的一半，对运用刚得到的基本不等式的变形性质，结合已知进行求解即可；

（2）由均值不等式和绝对值不等式得x2+2y2+3z2＝（x2+z2）+2（y2+z2）≥2|xz|+4|yz|≥2|xz+2yz|＝2|z（x+2y）|＝|m|，进而得到关于m的不等式，解出即可．

（1）∵a2+b2≥2ab，

∴2（a2+b2）≥（a+b）2，即a2+b2（a+b）2，

∴x2+4y2z2（x+2y）2z22|（x+2y）z|＝1，

当且仅当x＝2y，x+2y＝z时，即x＝2yz，等号成立，

∴x2+4y2z2的最小值是1．

（2）∵m2﹣8＝x2+2y2+3z2＝（x2+z2）+2（y2+z2）≥2|xz|+4|yz|，（当且仅当|x|＝|y|＝|z|时等号成立），

又2|xz|+4|yz|≥2|xz+2yz|＝2|z（x+2y）|＝|m|，（当且仅当xz与yz非异号时等号成立）．

∴m2﹣8≥2|m|，即m2﹣2|m|﹣8≥0，

解得|m|≥4，即m≥4或m≤﹣4，

所以m的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．