题目内容
【题目】已知直线l：
和椭圆
：
相交于点
，
（1）当直线l过椭圆的左焦点和上顶点时，求直线l的方程
（2）点
在上，若
，求
面积的最大值：
（3）如果原点O到直线l的距离是
，证明：
为直角三角形.
【答案】（1） 
（2）
（3）证明见解析
【解析】
（1）由椭圆方程得左焦点和上顶点坐标，代入直线方程可得结果；
（2）联立直线与椭圆方程可得
的坐标，可得弦长
，求出点
到直线
的距离。利用三角形面积公式可得面积，然后利用基本不等式可得最大值；
（3）利用原点O到直线l的距离是
可得
，联立
，利用韦达定理可得
，
，求出
，利用
可证结论.
（1）由
知，
，
，所以
，所以
，
所以左焦点为
，上顶点为
，
所以
，
，所以直线l的方程为.
（2）联立
，可得
或
，
所以
，
，
所以
，
又点
到直线
的距离
，
所以三角形
的面积
，
因为要求面积的最大值，所以
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立.
所以
面积的最大值为.
（3）原点
到直线
的距离为
，
所以，
联立，消去
并整理得
，
由韦达定理得，，
所以
，
所以
所以
，所以
为直角三角形.
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