Question

【题目】设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为， 在轴负半轴上有一点，且

（1）若过三点的圆 恰好与直线相切，求椭圆C的方程；

（2）在（1）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆C交于两点，在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围；如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在满足题意的点且的取值范围是．

【解析】

（1）根据，得，所以|F1F2|＝a，利用，可得F1为BF2的中点，从而可得△ABF2的外接圆圆心为，半径r＝|F1A|＝a，根据过A、B、F2三点的圆与直线相切，利用点到直线的距离公式，即可确定椭圆方程；

（2）由（1）知F2（1，0），设l的方程为：y＝k（x﹣1）与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合菱形对角线垂直，所以，可得m，k之间的关系，从而可得结论．

（1）由题意，得，所以|F1F2|＝a，∵|AF1|＝|AF2|＝a，，

∴F1为BF2的中点，∴|AF1|＝|AF2|＝|F1F2|＝a，∴△ABF2的外接圆圆心为，半径r＝|F1A|＝a，

又过A、B、F2三点的圆与直线相切，所以，

∴a＝2，∴c＝1，b2＝a2﹣c2＝3．∴所求椭圆方程为；

（2）由（1）知F2（1，0），设l的方程为：y＝k（x﹣1），

将直线方程与椭圆方程联立，整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0；

设M（x1，y1），N（x2，y2），则；

假设存在点P（m，0），使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，由于菱形对角线垂直，所以，

又

又MN的方向向量是（1，k），故k（y1+y2）+x1+x2﹣2m＝0，则k2（x1+x2﹣2）+x1+x2﹣2m＝0，

即，由已知条件知k≠0且k∈R，

∴，∴，故存在满足题意的点P且m的取值范围是.