Question

在等差数列中，，．令，数列的前项和为．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和；

（3）是否存在正整数，（）,使得，，成等比数列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（1） （2） （3）存在满足条件的正整数、，此时，

【解析】

试题分析：（1）因为数列为等差数列，由可求首项及公差,进而求得；

（2）由（1）和题意易求得，即可求得；

（3）由（2）知，，，，先假设存在正整数、 ，使得、、成等比数列，可得，即，整理可得（*）当时，（*）式可化为 ，所以；当时，，由得，此时无正整数解，即可求得结果．

试题解析：（1）设数列的公差为，由得

解得，∴

（2）∵

∴

（3）由（2）知，，，

假设存在正整数、 ，使得、、成等比数列，

则 ， 即

经化简，得

∴

∴ （*）

当时，（*）式可化为 ，所以

当时，

又∵，∴（*）式可化为 ，所以此时无正整数解．

综上可知，存在满足条件的正整数、，此时，．

考点：等差数列的性质；裂项求和；等比数列的性质．