题目内容
3．对于复数z=a+bi（a、b∈R，i为虚数单位），定义‖z‖=|a|+|b|，给出下列命题：①对任何复数，都有‖z‖≥0，等号成立的充要条件是z=0；
②‖z‖=‖$\overline{z}$‖；③‖z1‖=‖z2‖，则z1=±z2；
④对任何复数z1，z2，z3，不等式‖z1-z3‖≤‖z1-z2‖+‖z2-z3‖恒成立，
其中真命题的个数是（ ）
| A． | 1 | B． | 2 | C． | 3 | D． | 4 |
分析 在①中，当z=0时，‖z‖=0；反之，当‖z‖=0时，z=0；在②中，z=a+bi，$\overline{z}$=a-bi，从而‖z‖=‖$\overline{z}$‖=|a|+|b|；在③中，当z1=2+3i，z2=3+2i时，不成立；④由绝对值的性质得到‖z1-z3‖≤‖z1-z2‖+‖z2-z3‖恒成立．
解答 解：由复数z=a+bi（a、b∈R，i为虚数单位），定义‖z‖=|a|+|b|，知：
在①中，对任何复数，都有‖z‖≥0，
当z=0时，‖z‖=0；反之，当‖z‖=0时，z=0，
∴等号成立的充要条件是z=0，故①成立；
在②中，∵z=a+bi，$\overline{z}$=a-bi，∴‖z‖=‖$\overline{z}$‖=|a|+|b|，故②成立；
在③中，当z1=2+3i，z2=3+2i时，‖z1‖=‖z2‖，但z1≠±z2，故③错误；
④对任何复数z1，z2，z3，
设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i，
则‖z1-z3‖=|a1-a3|+|b1-b3|，
‖z1-z2‖+‖z2-z3‖=|a1-a2|+|a2-a3|+|b1-b2|+|b2-b3|，
|a1-a3|≤|a1-a2|+|a2-a3|，
|b1-b3|≤|b1-b2|+|b2-b3|，
∴‖z1-z3‖≤‖z1-z2‖+‖z2-z3‖恒成立．故④成立．
故选：C．
点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意绝对值性质、复数概念及性质的合理运用．
练习册系列答案
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