Question

11．已知函数f（x）=-x²+2a|x-1|，a＞0
（1）若a=2，求函数f（x）的单调区间及最大值；
（2）若对任意的x∈[-2，$\frac{3}{2}$]，恒有|f（x）|≤2成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）去掉绝对值，利用二次函数的单调性，即可求函数f（x）的单调区间及最大值；
（2）对任意的x∈[-2，$\frac{3}{2}$]，恒有|f（x）|≤2成立，等价于对任意的x∈[-2，$\frac{3}{2}$]，恒有-2≤-x²+2a|x-1|≤2成立，分类讨论，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）a=2，f（x）=-x²+4|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-（x-2）^{2}，x≥1}\\{-（x+2）^{2}+8，x＜1}\end{array}\right.$，
∴函数的单调递增区间是（-∞，-2），（1，2），单调递减区间是（-2，1），（2，+∞）；
当x=-2时，函数取得最大值8；
（2）∵对任意的x∈[-2，$\frac{3}{2}$]，恒有|f（x）|≤2成立，
∴对任意的x∈[-2，$\frac{3}{2}$]，恒有-2≤-x²+2a|x-1|≤2成立，
x∈[-2，1]，恒有-2≤-x²-2a（x-1）≤2成立，∴$\frac{2+{x}^{2}}{x-1}$≤-2a≤$\frac{-2+{x}^{2}}{x-1}$，
设t=x-1，t∈[-3，0]，
∴t+$\frac{3}{t}$+2≤-2a≤t-$\frac{1}{t}$+2，
∴-2$\sqrt{3}$+2≤-2a≤-$\frac{2}{3}$，∴$\frac{1}{3}$≤a≤$\sqrt{3}$-1；
x∈[1，$\frac{3}{2}$]，恒有-2≤-x²+2a（x-1）≤2成立，
∴$\frac{-2+{x}^{2}}{x-1}$≤2a≤$\frac{2+{x}^{2}}{x-1}$，
设t=x-1，t∈[0，$\frac{1}{2}$]，
∴t-$\frac{1}{t}$+2≤2a≤t+$\frac{3}{t}$+2，∴$\frac{1}{2}$≤2a≤$\frac{17}{2}$，∴$\frac{1}{4}$≤a≤$\frac{17}{4}$
综上所述，$\frac{1}{3}$≤a≤$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查二次函数的单调性，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．