Question

4．圆C的圆心在直线y=3x上，且圆C与x轴相切，若圆C截直线y=x得弦长为2$\sqrt{7}$，求圆C的标准方程．

Answer 1

分析 设出圆的方程，利用已知条件，推出2r²=（a-b）²+14①，r²=b²②，3a-b=0③解出a，b，r即可得到圆的方程．

解答 解：设所求的圆的方程是（x-a）²+（y-b）²=r²，
则圆心（a，b）到直线x-y=0的距离为$\frac{|a-b|}{\sqrt{2}}$，∴${r}^{2}=（\frac{|a-b|}{\sqrt{2}}）^{2}+（\sqrt{7}）^{2}$
即2r²=（a-b）²+14①（2分）
由于所求的圆与x轴相切，∴r²=b²②（4分）
又圆心在直线3x-y=0上，∴3a-b=0③（6分）
联立①②③，解得a=1，b=3，r²=9或a=-1，b=3，r²=9（10分）
故所求的圆的方程是：（x-1）²+（y-3）²=9或（x+1）²+（y+3）²=9（12分）

点评 本题是基础题，考查圆的方程的求法，标准方程的应用，灵活设出圆的方程是关键，考查计算能力．