Question

9．已知$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x+y-4≥0}\\{2x-y-5≤0}\end{array}\right.$，求：
（Ⅰ）z=$\frac{y+2}{x+1}$的取值范围；
（Ⅱ）z=x²+y²-8x-2y+17的最小值．
（III）求z=|x-2y+1|的取值范围．

Answer 1

分析 画出平面区域，分别有目标函数的几何意义求取值范围．

解答 解：由已知得到平面区域如图：（Ⅰ）由z=$\frac{y+2}{x+1}$的几何意义是过点（-1，-2）与区域内的点连接的直线的斜率所以，与B连接的直线斜率最小$\frac{1-（-2）}{3-（-1）}=\frac{3}{4}$，与A连接的直线斜率最大$\frac{3-（-2）}{1-（-1）}=\frac{5}{2}$，所以z=$\frac{y+2}{x+1}$的取值范围是[$\frac{3}{4}，\frac{5}{2}$]；
（Ⅱ）z=x²+y²-8x-2y+17=（x-4）²+（y-1）²表示区域内 的点到（4，1）的距离的平方，所以最小值是与直线2x-y-5=0的距离的平方，（$\frac{4×2-1-5}{\sqrt{5}}$）²=$\frac{4}{5}$，所以最小值为$\frac{4}{5}$．
（III）z=|x-2y+1|的几何意义表示区域内的点到直线x-2y+1=0的距离的$\sqrt{5}$倍，因为直线穿过区域，所以最小值为0，点C到直线的距离最大，所以最大值为$\sqrt{5}×\frac{|7-2×9-1|}{\sqrt{5}}=10$，所以z=|x-2y+1|的取值范围是[0，10]．

点评 本题考查了平面区域的画法以及目标函数的最值求法；关键是正确画出区域，利用目标函数的几何意义求最值．