Question

6．设等差数列{a_n}的公差为整数，且a₄=a₃²-28，a₅=10，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_3n+1，若数列{b_n}的前n项和S_n=350，求n．

Answer 1

分析 （1）通过设等差数列{a_n}的公差为d，利用10-d=（10-2d）²-28计算可得公差d，进而可得结论；
（2）通过（1）可知b_n=6n+2，利用6•$\frac{n（n+1）}{2}$+2n=350计算即得结论．

解答 解：（1）依题意，设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₄=a₃²-28，a₅=10，
∴10-d=（10-2d）²-28，
整理得：4d²-39d+62=0，
解得：d=$\frac{39±\sqrt{3{9}^{2}-4×4×62}}{8}$=$\frac{39±23}{8}$，
∴d=2或$\frac{31}{4}$（舍），
∴数列{a_n}的通项公式a_n=a₅+（n-5）d
=10+2（n-5）
=2n；
（2）由（1）可知b_n=a_3n+1=2（3n+1）=6n+2，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=6•$\frac{n（n+1）}{2}$+2n=350，
整理得：3n²+5n-350=0，
解得：n=10或n=-$\frac{70}{6}$（舍）．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．