题目内容

1.Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0,a${\;}_{n}^{2}$+2an=4Sn+3
(I)求{an}的通项公式:
(Ⅱ)设bn=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$,求数列{bn}的前n项和为Tn,求使不等式Tn>$\frac{k}{105}$对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值.

分析 (I)根据数列的递推关系,利用作差法即可求{an}的通项公式;
(Ⅱ)求出bn=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$,利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和.

解答 解:(I)由an2+2an=4Sn+3,可知an+12+2an+1=4Sn+1+3,
两式相减得an+12-an2+2(an+1-an)=4an+1
即2(an+1+an)=an+12-an2=(an+1+an)(an+1-an),
∵an>0,∴an+1-an=2,
又∵a12+2a1=4a1+3,
∴a1=-1(舍)或a1=3,
∴数列{an}是首项为3、公差d=2的等差数列,
∴数列{an}的通项公式an=3+2(n-1)=2n+1;
(Ⅱ)∵an=2n+1,
∴bn=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$
=$\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$
=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$),
∴数列{bn}的前n项和Tn=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$)
=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$)
=$\frac{n}{3(2n+3)}$,
∵不等式Tn>$\frac{k}{105}$对一切n∈N*都成立,
∴105Tn=$\frac{35n}{2n+3}$>k对一切n∈N*都成立,
记f(x)=$\frac{35x}{2x+3}$,则f′(x)=$\frac{35×(2x+3)-2×35x}{(2x+3)^{2}}$=$\frac{105}{(2x+3)^{2}}$>0,
∴f(n)=$\frac{35n}{2n+3}$随着n的增大而增大,
∴k<f(1)=$\frac{35}{2+3}$=7,
∴满足条件的最大正整数k的值为6.

点评 本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算,利用裂项法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.

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